Question

【題目】已知a，b為常數(shù)，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．
（Ⅰ）若方程f（x）﹣x=0有唯一實(shí)數(shù)根，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上的最大值與最小值；
（Ⅲ）當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x2﹣2x）

（ I）方程f（x）﹣x=0有唯一實(shí)數(shù)根，即方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解，∴（2a+1）2=0，解得 ∴

（II）∵a=1∴f（x）=x2﹣2x，x∈[﹣1，2]若f（x）max=f（﹣1）=3若f（x）min=f（1）=﹣1

（Ⅲ）解法一、當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，即： 在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，

設(shè) ，顯然函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，gmax（x）=g（2）=2當(dāng)且僅當(dāng)a≥gmax（x）時(shí)，不等式f（x）≥2﹣a2在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，因此a≥2

解法二、因?yàn)?當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，所以 x≥2 時(shí)，f（x）的最小值≥2﹣a

當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=a（x2﹣2x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，f（x）≤0恒成立而2﹣a＞0所以a＜0時(shí)不符合題意．

當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=a（x2﹣2x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（2）=0所以 0≥2﹣a，即a≥2即可

綜上所述，a≥2

【解析】（Ⅰ）由二次函數(shù)根的情況可得當(dāng)方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解時(shí)即可得a的值求出函數(shù)解析式。（II）根據(jù)二次函數(shù)在指定區(qū)間[﹣1，2]上的最值可得。（Ⅲ）整理不等式f（x）≥2﹣a可得， a ≥ ,由題意根據(jù)二次函數(shù)的最值可得。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，需要了解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，才能得出正確答案．