Question

已知函數(shù)f（x）=asin（x-

π

3

）+asin（x+

π

3

）-2sin²x，其中x∈[0，π]，a為常數(shù)
（ 1 ）求當(dāng)sin（x-

π

3

）=

1

2

時(shí)，求y=f（x）的值；
（2）求使f（x）≥0恒成立時(shí)a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由x∈[0，π]，可得x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，由sin（x-

π

3

）=

1

2

得x=

π

2

，從而由y=f（x）=f（

π

2

）即可求值．
（2）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=asinx-2sin²x，從而asinx-2sin²x≥0恒成立，即得a≥2sinx恒成立，從而解得a≥（2sinx）_max=2，即可求得a的最小值．

解答： （本小題滿分12分）
解：

(1)∵x∈[0，π]

，
∴x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，…(2分)
∵由sin（x-

π

3

）=

1

2

得x=

π

2

，…（4分）
∴y=f（x）=f（

π

2

）=asin

π

6

+asin

5π

6

-2sin²

π

2

=

1

2

a+

1

2

a-2=a-2…（6分）
(2)∵f(x)=a(sinxcos

π

3

-cos

π

3

sinx)+a(sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

)-2sin2x，
即f（x）=asinx-2sin²x，…（8分）
在x∈[0，π]上，f（x）≥0恒成立，
即asinx-2sin²x≥0恒成立，
而sinx≥0，所以只需a-2sinx≥0，即a≥2sinx恒成立，…（10分）
故只需a≥（2sinx）_max=2成立即可，
∴a的最小值為2

，

…(12分)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．