Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=4，E為PD中點．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（3）求二面角E-AC-D的正弦值．

Answer 1

（1）證明：在四棱錐P-ABCD中，
四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，
以A為坐標(biāo)原點，以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PA=AB=4，E為PD中點，
∴P（0，0，4），B（4，0，0），
A（0，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），E（0，2，2），
∴

PB

=(4，0，-4)，

AC

=（4，4，0），

AE

=(0，2，2)，
設(shè)平面AEC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n

•

AC

=0，

n

•

AE

=0，
∴

4x+4y=0 2y+2z=0

，∴

n

=（1，-1，1），
∵

PB

•

n

=4+0-4=0，且PB不包含于平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）證明：在四棱錐P-ABCD中，
∵四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，
∴CD⊥AD，CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．
（3）∵平面ACD的法向量

m

=（0，0，1），
由（1）知平面AEC的法向量

n

=（1，-1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，
sin＜

m

，

n

＞=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴二面角E-AC-D的正弦值為

6

3

．