【題目】設f(x)= ,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)若x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解: f(x)= 的導數(shù)為f′(x)=
則在點(1,f(1))處的切線斜率為f′(1)= ,
由于在點(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直,
則f′(1)= ,即 = ,
故a=0;
(2)解:由于f(x)= ,
當x=1時,f(1)=0,m(x﹣1)=0不等式f(x)≤m(x﹣1)成立,
當x>1時,f(x)≤m(x﹣1)即為lnx≤m(x﹣ ).
設g(x)=lnx﹣m(x﹣ ),即x>1時,g(x)≤0恒成立,
g′(x)= ﹣m(1 )=
①若m≤0時,g′(x)>0,則g(x)在x>1上遞增,即有g(x)>0,矛盾;
②若m>0,﹣mx2+x﹣m=0的判別式△=1﹣4m2,
當△≤0時,即m≥ ,g′(x)≤0,即g(x)在x>1上遞減,g(x)<g(1)=0成立,
當△>0時,即0<m< 時,方程﹣mx2+x﹣m=0的根x1= <1,x2= >1.
當1<x<x2時,g′(x)>0,g(x)在x>1上遞增,g(x)>g(1)=0矛盾.
綜上,實數(shù)m的取值范圍是:[ ,+∞)
【解析】(1)求得函數(shù)f(x)的導函數(shù),利用曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直,即可求a的值;(2)先將原來的恒成立問題轉化為lnx≤m(x﹣ ).設g(x)=lnx﹣m(x﹣ ),即x>1時,g(x)≤0恒成立,利用導數(shù)研究g(x)在(1,+∞)上單調性,求出函數(shù)g(x)的范圍,即可求得實數(shù)m的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識,掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市準備引進優(yōu)秀企業(yè)進行城市建設. 城市的甲地、乙地分別對5個企業(yè)(共10個企業(yè))進行綜合評估,得分情況如莖葉圖所示.
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖,求乙地對企業(yè)評估得分的平均值和方差;
(Ⅱ)規(guī)定得分在85分以上為優(yōu)秀企業(yè). 若從甲、乙兩地準備引進的優(yōu)秀企業(yè)中各隨機選取1個,求這兩個企業(yè)得分的差的絕對值不超過5分的概率.
注:方差
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a、b、c,已知a=csinB+bcosC.
(1)求A+C的值;
(2)若b= ,求△ABC面積的最值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差數(shù)列{bn}滿足b3=3,b5=9.
(1)分別求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設Cn= (n∈N*),求證Cn+1<Cn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=lncos(2x+ )的一個單調遞減區(qū)間是( )
A.(﹣ ,﹣ )
B.(﹣ ,﹣ )
C.(﹣ , )
D.(﹣ , )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=﹣sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(﹣ , ))的一條對稱軸為x= ,一個對稱中心為( ,0),在區(qū)間[0, ]上單調.
(1)求ω,φ的值;
(2)用描點法作出y=sin(ωx+φ)在[0,π]上的圖象.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=2sin(2x+ ),若將它的圖象向右平移 個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸的方程為( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=xea﹣x+bx,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=(e﹣1)x+4,
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的單調區(qū)間.
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