Question

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=k·.
(I)求函數(shù)F(x)= f(x)- g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)f(x)> g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(Ⅲ)設(shè)正實(shí)數(shù)a₁，a₂，a₃，，a_n滿足a₁+a₂+a₃++a_n=1，
求證：ln(1+)+ln(1+)++ln(1+)>．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，只有單調(diào)遞增區(qū)間
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為  
（2）
（3）由（2）知，在恒成立，那么構(gòu)造函數(shù)借助于單調(diào)性來得到求證。

試題分析：解：（Ⅰ）   --- 1分
由的判別式
①當(dāng)即時(shí)，恒成立，則在單調(diào)遞增    2分
②當(dāng)時(shí)，在恒成立，則在單調(diào)遞增      3分
③當(dāng)時(shí)，方程的兩正根為
則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增
綜上，當(dāng)時(shí)，只有單調(diào)遞增區(qū)間
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為   5分
（Ⅱ）即時(shí)，恒成立
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增 ∴當(dāng)時(shí)，滿足條件  7分
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減
則在單調(diào)遞減
此時(shí)不滿足條件
故實(shí)數(shù)的取值范圍為                                         9分
（Ⅲ）由（2）知，在恒成立
令 則         10分
∴                   11分
又
∴                          13分
∴              
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到不等式的證明，屬于中檔題。