如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=4,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.
圖1 圖2
(1)求證:A1C⊥平面BCDE;
(2)過點(diǎn)E作截面平面,分別交CB于F,于H,求截面的面積;
(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE成的角?說明理由.
(1)要證明線面垂直,則根據(jù)線面垂直的判定定理來得到。(2)
(3) 存在線段上存在點(diǎn),使平面與平面成的角
【解析】
試題分析:解:(1), 平面.
又平面, .
又, 平面 ……4分
(2) )過點(diǎn)E作EF∥CD交BC于F,過點(diǎn)F作FH∥交于H,連結(jié)EH.
則截面平面。
因?yàn)樗倪呅蜤FCD為矩形,所以EF=CD=1,CF=DE=4,從而FB=2,HF=
平面, FH∥,平面,
……8分
(3)假設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE成的角。
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則.
如圖建系,則,,, .
∴,
設(shè)平面法向量為,
則∴ ,∴
設(shè)平面法向量為,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052611320139162597/SYS201305261133130166517982_DA.files/image043.png">,.
則∴∴
則∴56,
解得
∵ ∴
所以存在線段上存在點(diǎn),使平面與平面成的角. ……12分
考點(diǎn):空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是根據(jù)面面垂直化的判定定理以及二面角的概念來求解,屬于基礎(chǔ)題。
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