(2009•普陀區(qū)一模)如圖,在 Rt△AOB中,∠OAB=
π6
,斜邊AB=4,D是AB的中點(diǎn).現(xiàn)將 Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐體,點(diǎn)C為圓錐體底面圓周上的一點(diǎn),且∠BOC=90°.
(1)求該圓錐體的體積;
(2)求異面直線AO與CD所成角的大小.
分析:(1)在 Rt△AOB中,∠OAB=
π
6
,斜邊AB=4,所以O(shè)C=2,AO=2
3
,該圓錐體的體積v=
1
3
×π×22×2
3
=
8
3
3
π

(2)解法一、設(shè)OB中點(diǎn)為E,連接CE、DE,則設(shè)異面直線AO與CD所成角即為∠CDE.由DE∥AO,所以DE⊥底面COB,于是DE⊥CE.又DE=
1
2
AO=
3
,CE=
CO2+EO2
=
5
.由此能求出異面直線AO與CD所成角的大。
解法二:以O(shè)C為x軸,OB為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則
OA
=(0,0,2
3
)
,
CD
=(-2,1,
3
)
,設(shè)異面直線AO與CD所成角為θ,則cosθ=
|
OA
CD
|
|
OA
|•|
CD
|
=
6
2
3
•2
2
=
6
4
.由此能求出異面直線AO與CD所成角的大。
解答:解:(1)∵在 Rt△AOB中,∠OAB=
π
6
,斜邊AB=4,
∴OC=2,AO=2
3
,
該圓錐體的體積v=
1
3
×π×22×2
3
=
8
3
3
π

(2)解法一、設(shè)OB中點(diǎn)為E,連接CE、DE,
則設(shè)異面直線AO與CD所成角即為∠CDE.
由DE∥AO,所以DE⊥底面COB,
于是DE⊥CE.
DE=
1
2
AO=
3

CE=
CO2+EO2
=
5
,
tan∠CDE=
15
3

即異面直線AO與CD所成角的大小為arctan
15
3

解法二:以O(shè)C為x軸,OB為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則O(0,0,0),A(0,0,2
3
)
,C(2,0,0),D(0,1,
3
)
,
OA
=(0,0,2
3
)
,
CD
=(-2,1,
3
)
,
設(shè)異面直線AO與CD所成角為θ,
cosθ=
|
OA
CD
|
|
OA
|•|
CD
|
=
6
2
3
•2
2
=
6
4

∴異面直線AO與CD所成角的大小為arccos
6
4
點(diǎn)評:本題考查圓錐體的體積和兩條異面直線所成角的大小的求法,解題時要認(rèn)真審題,合理地建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解兩條異面直線所成角的大。
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2
+1
2
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lim
n→∞
2n2+1
1+3+5+…+(2n-1)
=
2
2

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x2
9
+
y2
4
=1
的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)P在橢圓上,且|
PF1
+
PF2
|=2
5
,則向量
PF1
與向量
PF2
的夾角的大小為
90°
90°

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