Question

已知函數(shù)，，是常數(shù)．

（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在第一象限，試求常數(shù)的取值范圍；

（3）證明：，存在，使．

 

Answer 1

（1）；（2）；（2）答案詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得所求切線的斜率為，利用直線的點(diǎn)斜式方程求出的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）由，故函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在第一象限等價(jià)于恒成立，當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，顯然不滿足；當(dāng)時(shí)，參變分離為，求右側(cè)函數(shù)的最小值即可，從而得關(guān)于的不等式，解不等式的的取值范圍；（3）依題意，存在，使等價(jià)于方程函數(shù)有零點(diǎn).

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021906011302684672/SYS201502190601225428107963_DA/SYS201502190601225428107963_DA.019.png">,

，

函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，

即 4分

（2）①時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021906011302684672/SYS201502190601225428107963_DA/SYS201502190601225428107963_DA.025.png">，所以點(diǎn)在第一象限，依題意，

②時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，時(shí)，，，從而“，”不成立

③時(shí)，由得，設(shè)，

	－
	↘	極小值	↗

 

，從而，

綜上所述，常數(shù)的取值范圍 8分

（3）計(jì)算知

設(shè)函數(shù)

，

當(dāng)或時(shí)，

，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021906011302684672/SYS201502190601225428107963_DA/SYS201502190601225428107963_DA.053.png">的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以存在，使，即，使；

當(dāng)時(shí)，、，而且、之中至少一個(gè)為正，由均值不等式知，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以有最小值，且

，

此時(shí)存在（或），使

綜上所述，，存在，使 12分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)幾何意義；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值.