Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+bx+1是偶函數(shù)，g（x）=5x+c是奇函數(shù)，正數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出b，c的值，利用函數(shù)關(guān)系得到數(shù)列的遞推關(guān)系，根據(jù)遞推關(guān)系得到數(shù)列{a_n}是以q=

2

3

的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：∵f（x）=3x²+bx+1是偶函數(shù)，g（x）=5x+c是奇函數(shù)，
∴b=0，c=0，
即f（x）=3x²+1，g（x）=5x，
∵f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1，
∴3（a_n+a_n+1）²+1-5（a_n+1a_n+a_n²）=1，
即3（a_n+a_n+1）²-5a_n（a_n+1+a_n）=0，
則（a_n+a_n+1）[3（a_n+a_n+1）-5a_n]=0，
即（a_n+a_n+1）（3a_n+1-2a_n）=0，
∵正數(shù)數(shù)列{a_n}，
∴a_n+a_n+1＞0，則必有3a_n+1-2a_n=0，
即

an+1

an

=

2

3

為常數(shù)，即數(shù)列{a_n}是以q=

2

3

的等比數(shù)列，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=(

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3

)n-1（n∈N^*），
故答案為：an=(

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3

)n-1，（n∈N^*）

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出，b，c以及利用函數(shù)關(guān)系得到數(shù)列{a_n}是以q=

2

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的等比數(shù)列是解決本題關(guān)鍵．