Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求實(shí)數(shù)的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：由 ，直線(xiàn)的斜率為，

所以得出a值，（2）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 大于零或小于零解不等式即可注意當(dāng)當(dāng)， 時(shí)（3）由（2）可知，

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，而，故在上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，而，故在上有一個(gè)零點(diǎn)；只需討論當(dāng)時(shí)結(jié)合草圖根據(jù)零點(diǎn)所在的區(qū)間逐一討論即可

試題解析：

（1）由題可知的定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，所以

又因?yàn)橹本�(xiàn)的斜率為，

，解得

（2）由（1）知： ，

當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）由（2）可知，

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，而，故在上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，而，故在上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，

①若，即時(shí)， 在上單調(diào)遞減， ， 在上沒(méi)有零點(diǎn)；

②若，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而， ， ，

若 ，即時(shí)， 在上沒(méi)有零點(diǎn)；

若 ，即時(shí)， 在上有一個(gè)零點(diǎn)；

若 ，即時(shí)，由得，此時(shí)， 在上有一個(gè)零點(diǎn)；

由得，此時(shí)， 在上有兩個(gè)零點(diǎn)；

③若，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增， ， ， 在上有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)或時(shí)， 在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)， 在上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 在上有兩個(gè)零點(diǎn).