Question

【題目】已知向量 ， ，且 ，f（x）= ﹣2λ| |（λ為常數(shù)），求：
（1） 及| |；
（2）若f（x）的最小值是 ，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解： ， ，

∵ ，

∴cosx≥0，

∴ ．

（2）

解：f（x）=cos2x﹣4λcosx=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，

∵ ，

∴0≤cosx≤1，

①當(dāng)λ＜0時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時，f（x）取得最小值﹣1，這與已知矛盾；

②當(dāng)0≤λ≤1，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=λ時，f（x）取得最小值﹣1﹣2λ2，

由已知得 ，解得 ；

③當(dāng)λ＞1時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時，f（x）取得最小值1﹣4λ，

由已知得 ，解得 ，這與λ＞1相矛盾、

綜上所述， 為所求．

【解析】（1）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)，寫出兩個向量的數(shù)量積，寫出數(shù)量積的表示式，利用三角函數(shù)變換，把數(shù)量積整理成最簡形式，再求兩個向量和的模長，根據(jù)角的范圍，寫出兩個向量的模長．（2）根據(jù)第一問做出的結(jié)果，寫出函數(shù)的表達(dá)式，式子中帶有字母系數(shù)λ，把式子整理成關(guān)于cosx的二次函數(shù)形式，結(jié)合λ的取值范圍，寫出函數(shù)式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合題意的舍去．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解三角函數(shù)的最值(函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值為；當(dāng)時，取得最大值為，則，，)．