如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率，直線的方程為.

(1)求橢圓的方程；
(2)是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn))，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記的斜率分別為.問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．

(1)；(2).

解析試題分析：（1）將點(diǎn)代入橢圓的方程得到，結(jié)合離心率且，即可求解出，進(jìn)而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）依題意知，直線的斜率存在，先設(shè)直線的方程為，并設(shè)，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，消去得到，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，由直線及的方程確定點(diǎn)的坐標(biāo)（含），進(jìn)而得到，
進(jìn)而整理出（注意關(guān)注并應(yīng)用共線得到），從而可確定的取值.
試題解析：(1)由在橢圓上得， ①
依題設(shè)知，則 ②
②代入①解得
故橢圓的方程為 
(2)由題意可設(shè)的斜率為， 則直線的方程為 ③ 
代入橢圓方程并整理
得
設(shè)，則有    ④
在方程③中令得，的坐標(biāo)為
從而
注意到共線，則有，即有
所以  
   ⑤
④代入⑤得 
又，所以.故存在常數(shù)符合題意.
考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的綜合問(wèn)題；3.二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)M、N是拋物線C的準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且它們的縱坐標(biāo)之積為－4，直線MO、NO與拋物線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，求證：動(dòng)直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且＝λ(λ＞0)，定點(diǎn)A(－4，0)．
(1)求證：當(dāng)λ＝1時(shí)，⊥；
(2)若當(dāng)λ＝1時(shí)，有·＝，求橢圓C的方程．.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，實(shí)軸長(zhǎng).
（1）求雙曲線的方程
（2）若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且為銳角(其中為原點(diǎn))，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，兩條相交線段、的四個(gè)端點(diǎn)都在橢圓上，其中，直線的方程為，直線的方程為．

（1）若，，求的值；
（2）探究：是否存在常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)定圓，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.
（1）求軌跡的方程；
（2）已知，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡于、兩點(diǎn)，的外心為．若直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-,0),(,0),離心率是.直線y=t與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,以線段MN為直徑作圓P,圓心為P.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標(biāo);
(3)設(shè)Q(x,y)是圓P上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)t變化時(shí),求y的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)作斜率為2的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，已知.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，若軸上存在一定點(diǎn)，使得，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

雙曲線C與橢圓＝1有相同的焦點(diǎn)，直線y＝x為C的一條漸近線．求雙曲線C的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案