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(經(jīng)典回放)已知函數(shù)φ(x)＝＋1，f(x)＝(a＋b)^x－a^x－b^x，其中a，b∈N₊，a≠1，b≠1，a≠b，且ab＝4，

(1)求函數(shù)φ(x)的反函數(shù)g(x)；

(2)對任意n∈N₊，試指出f(n)與g(2ⁿ)的大小關系，并證明你的結論．

答案：
解析：

　　解：(1)由y＝＋1，得＝y(tǒng)－1(y≥1)，

　　有x＋1＝(y－1)²，即x＝y(tǒng)²－2y，故g(x)＝x²－2x(x≥1)．

　　(2)∵f(n)＝(a＋b)ⁿ－aⁿ－bⁿ，g(2ⁿ)＝4ⁿ－2ⁿ⁺¹，

　　當n＝1時f(1)＝0，g(2)＝0，有f(1)＝g(2)．

　　當n＝2時，f(2)＝(a＋b)²－a²－b²＝2ab＝8，

　　g(2²)＝4²－2³＝8，f(2)＝g(2²)．

　　當n＝3時，f(3)＝(a＋b)³－a³－b³＝3a²b＋3ab²＝3ab(a＋b)＞3ab×＝48．

　　g(2³)＝4³－2⁴＝48，有f(3)＞g(2³)．

　　當n＝4時，f(4)＝(a＋b)⁴－a⁴－b⁴

　　＝4a³b＋4ab³＋6a²b²

　�。�4ab(a²＋b²)＋6a²b²＞4ab×2ab＋6a²b²

　�。�14a²b²＝224．

　　g(2⁴)＝4⁴－2⁵＝224，有f(4)＞g(2⁴)，由此推測當1≤n≤2時，f(n)＝g(2ⁿ)，

　　當n≥3時，f(n)＞g(2ⁿ)．

　　下面用數(shù)學歸納法證明．

　　(1)當n＝3時，由上述推測成立；

　　(2)假設n＝k時，推測成立．即f(k)＞g(2^k)(k≥3)，

　　即(a＋b)^k－a^k－b^k＞4^k－2^k+1，

　　那么f(k＋1)＝(a＋b)^k+1－a^k+1－b^k+1

　　＝(a＋b)·(a＋b)^k－a·a^k－b·b^k

　�。�(a＋b)[(a＋b)^k－a^k－b^k]＋a^kb＋ab^k．

　　又依題設a＋b＞2ab＝4．

　　a^kb＋ab^k＞＝2(ab)＝2^k+2，

　　有f(k＋1)＞4[(a＋b)^k－a^k－b^k]＋2^k+2＞4(4^k－2^k+1)＋2^k+2

　�。�4^k+1－2^k+2＝g(2^k+1)，

　　即n＝k＋1時，推測也成立．

　　由(1)(2)知n≥3時，f(n)＞g(2ⁿ)都成立．

　　思路分析：欲比較f(n)與g(2ⁿ)的大小，需求出f(n)與g(2ⁿ)的關于n的表達式，以利于特殊探路——從n＝1，2，3，…中尋找、歸納一般性結論，再用數(shù)學歸納法證明．

提示：

為保證猜想的準確性，當設n＝1，2時，得出f(n)＝g(2ⁿ)，不要急于去證明，應再試驗一下n＝3，4時，以免出現(xiàn)錯誤．

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