Question

【題目】已知點(diǎn)A（0，2），B為拋物線x2＝2y﹣2上任意一點(diǎn)，且B為AC的中點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）是否存在斜率為1的直線l交曲線E于M、N兩點(diǎn)，使得△MAN為以MN為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y（2）直線l不存在，詳見解析

【解析】

（1）設(shè)C（x，y），B（m，n），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，代入拋物線方程，即可求出點(diǎn)C的軌跡方程，即曲線E的方程；

（2）設(shè)直線l的方程為：y＝x+t，與曲線E的方程聯(lián)立，得到△＞0，利用韋達(dá)定理求出MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用KAPKl＝﹣1求出t的值，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足△＞0，從而直線l不存在.

（1）設(shè)C（x，y），B（m，n），

由B是AC的中點(diǎn)，則，

因?yàn)?/span>B在拋物線x2＝2y﹣2上，所以m2＝2n﹣2，所以，

化簡(jiǎn)得：x2＝4y，所以曲線E的方程為：x2＝4y．

（2）設(shè)直線l的方程為：y＝x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯(lián)立方程，消去y得：x2﹣4x﹣4t＝0，

所以△＝16+16t＞0，x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，可得MN的中點(diǎn)P（2，2+t），

因?yàn)?/span>KAPKl＝﹣1，所以，解得，

將代入，不符合，

所以直線l不存在.