【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且.

1)求橢圓C的方程;

2)過(guò)P點(diǎn)的直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),直線平行于OPO為原點(diǎn)),且與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B,與直線交于點(diǎn)MM介于A、B兩點(diǎn)之間).

i)當(dāng)面積最大時(shí),求的方程;

ii)求證:,并判斷,的斜率是否可以按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列.

【答案】1;(2)(i;(ii)證明見(jiàn)解析,不可能構(gòu)成等比數(shù)列.

【解析】

(1)設(shè).求出的坐標(biāo),根據(jù),求出.把點(diǎn)代入橢圓方程,結(jié)合,求出,即得橢圓C的方程;

2)(i)設(shè)方程為.把直線的方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求出.由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)P的距離,則,根據(jù)基本不等式求面積的最大值,即求的方程;(ii)要證結(jié)論成立,只須證明,即證直線的平分線,轉(zhuǎn)化成證明.

C有一個(gè)公共點(diǎn),即為橢圓的切線,可求,又.由題意,四個(gè)數(shù)按某種順序成等比數(shù)列,推出矛盾,故不可能構(gòu)成等比數(shù)列.

1)設(shè),

.

,.

在橢圓上,故,

,解得,,

故所求方程為.

2)(i)由于,

設(shè)方程為,.

,消y整理得,

.

又點(diǎn)P的距離,

.

當(dāng)且僅當(dāng),,即時(shí),等號(hào)成立.

故直線AB的方程為:.

(ⅱ)要證結(jié)論成立,只須證明:

由角平分線性質(zhì)即證:直線的平分線,

轉(zhuǎn)化成證明:.

因?yàn)?/span>

因此結(jié)論成立.

C有一個(gè)公共點(diǎn),即為橢圓的切線,

,

所以,所以

故所研究的4條直線的斜率分別為,,,

若這四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,且其公比記為q,

則應(yīng)有,或.

因?yàn)?/span>不成立,所以,

而當(dāng)時(shí),,

此時(shí)直線PB重合,不合題意,

,,PAPB的斜率無(wú)論怎樣排序都不可能構(gòu)成等比數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求a的值;

2)記A表示事件“在上班高峰時(shí)段某乘客在甲站乘車等待時(shí)間少于20分鐘”試估計(jì)A的概率;

3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間左端點(diǎn)值來(lái)估計(jì),記在上班高峰時(shí)段甲、乙兩站各抽取的50名乘客乘車的平均等待時(shí)間分別為,求的值,并直接寫出的大小關(guān)系.

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瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂巢的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的,英國(guó)數(shù)學(xué)家麥克勞林通過(guò)計(jì)算得到菱形的一個(gè)內(nèi)角為,即.以下三個(gè)結(jié)論①;② ;③四點(diǎn)共面,正確命題的個(gè)數(shù)為______個(gè);若,,則此蜂巢的表面積為_______.

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A.94B.95C.96D.98

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②當(dāng)時(shí),直線yax+2a與白色部分有公共點(diǎn);

③黑色陰影部分(包括黑白交界處)中一點(diǎn)(x,y),則x+y的最大值為2;

④設(shè)點(diǎn)P(﹣2b),點(diǎn)Q在此太極圖上,使得∠OPQ45°,b的范圍是[2,2]

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

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