Question

如圖，在四棱錐中，，，，平面底面，.和分別是和的中點(diǎn)，求證：

（Ⅰ）底面；
（Ⅱ）平面；
（Ⅲ）平面平面.

Answer 1

把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直是常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.要證直線和平面平行，可以利用直線和平面平行的判定定理完成。證明平面與平面垂直，需要在一個(gè)平面內(nèi)找到一條和另一個(gè)平面垂直的直線，依據(jù)平面與平面垂直的判定定理。

（Ⅰ）因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015458420468.png" style="vertical-align:middle;" />底面，且垂直于這兩個(gè)平面的交線，
所以底面.
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015458389587.png" style="vertical-align:middle;" />，，是的中點(diǎn)，
所以，且.
所以為平行四邊形.
所以，.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015458873484.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面.
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015458405496.png" style="vertical-align:middle;" />，并且為平行四邊形，
所以,.
由（Ⅰ）知底面，
所以，
所以平面.
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015458467318.png" style="vertical-align:middle;" />和分別是和的中點(diǎn)，
所以.
所以.
所以平面.
所以平面平面.
【考點(diǎn)定位】本題考查了直線和平面平行、垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查推理論證能力.