Question

如圖，在斜三棱柱中，是的中點(diǎn)，⊥平面，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（Ⅰ）答案詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證明直線和直線垂直，只需證明直線和平面垂直，將其中的一條直線置于與另一條直線垂直的平面內(nèi)，本題易證面，從而，由已知得四邊形是菱形，故，從而可證面，進(jìn)而證明；（Ⅱ）選三條兩兩垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，求兩個(gè)半平面和的法向量，并求兩法向量夾角，通過觀察二面角是鈍角還是銳角決定余弦值的正負(fù)．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021906011302684672/SYS201502190601218084992307_DA/SYS201502190601218084992307_DA.013.png">⊥平面，所以.又，

所以平面，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021906011302684672/SYS201502190601218084992307_DA/SYS201502190601218084992307_DA.020.png">，所以四邊形是菱形，所以.

所以平面，所以． 5分

（Ⅱ）以為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

，，

設(shè)是面的一個(gè)法向量，則，

即，令，取.

同理面的一個(gè)法向量為． 10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021906011302684672/SYS201502190601218084992307_DA/SYS201502190601218084992307_DA.042.png">.

所以二面角的余弦值． 12分

考點(diǎn)：1、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)；2、二面角.