Question

三棱錐P-ABC，底面ABC為邊長為2

3

的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，O為底面三角形中心．
（Ⅰ）求證DO∥面PBC；
（Ⅱ）求證：BD⊥AC；
（Ⅲ）求面DOB截三棱錐P-ABC所得的較大幾何體的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AO并延長交BC于點E，連接PE、DO，證明DO∥PE，利用直線與平面平行的判定定理直接證明DO∥面PBC；
（Ⅱ）通過證明AC⊥平面DOB，利用直線與平面垂直的性質定理證明BD⊥AC；
（Ⅲ）連接BO并延長交AC于點F，連接DF，則面DOB將三棱錐P-ABC截成三棱錐D-ABF和四棱錐B-DFCP兩個幾何體，利用體積公式求面DOB截三棱錐P-ABC所得的較大幾何體的體積．

解答：（本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）連接AO并延長交BC于點E，
連接PE、DO．--------------（1分）
∵O為正三角形ABC的中心，
∴AO=2OE，
又AD=2DP，∴DO∥PE，--------------（2分）
∵DO?平面PBC，PE?平面PBC--------------（3分）
∴DO∥面PBC．--------------（4分）
（Ⅱ）∵PB=PC，且E為BC中點，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC．--------------（5分）
由（Ⅰ）知，DO∥PE，∴DO⊥平面ABC，
∴DO⊥AC--------------（6分）
連接BO，則AC⊥BO，
又DO∩BO=O，∴AC⊥平面DOB，--------------（7分）
∴AC⊥BD．--------------（8分）
（Ⅲ）連接BO并延長交AC于點F，連接DF，
則面DOB將三棱錐P-ABC截成三棱錐D-ABF和四棱錐B-DFCP兩個幾何體．--------------（9分）
VD-ABF=

1

3

×S△ABF×DO=

1

3

×

3

2

3

×

2

3

=

3

3

-----------（10分）
VP-ABC=

1

3

×S△ABC×PE=

1

3

×3

3

=

3

--------------（11分）
∴所截較大部分幾何體的體積為

2

3

3

．--------------（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定定理與性質定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力與計算能力．