【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,平面SCD⊥平面ABCD,SC=SD=CD=AD=2AB,M,N分別為SA,SB的中點(diǎn),E為CD中點(diǎn),過M,N作平面MNPQ分別與BC,AD交于點(diǎn)P,Q,若 =t .
(1)當(dāng)t= 時,求證:平面SAE⊥平面MNPQ;
(2)是否存在實(shí)數(shù)t,使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ?若存在,求出實(shí)數(shù)t的值;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)證明:(1)E為CD中點(diǎn),∴四邊形ABCE為矩形,
∴AE⊥CD,
當(dāng)t= 時,Q為AD中點(diǎn),PQ∥CD,所以PQ⊥AE,
∵平面SCD⊥平面ABCD,SE⊥CD,∴SE⊥面ABCD,
∵PQ面ABCD,∴PQ⊥SE,∴PQ⊥面SAE,
所以面MNPQ⊥面SAE
(2)解:如圖,以E為原點(diǎn),ED,EA,ES直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示坐標(biāo)系;
設(shè)ED=a,則M((1﹣t)a,( ﹣ )a, a),E(0,0,0),A(0, ,0),
Q((1﹣t)a, ,0), =(0, , ),
面ABCD一個方向向量為 =(1,0,0),
設(shè)平面MPQ的法向量 =(x,y,z),
則 ,取z=2,得 =(0, ,2),
平面ABCD的法向量為 =(0,0,1)
∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ,
∴由題意:cosθ= = = ,
解得t= 或t= ,
由圖形知,當(dāng)t= 時,二面角M﹣PQ﹣A為鈍二面角,不合題意,舍去
綜上:t= .
【解析】(1)推導(dǎo)出AE⊥CD,PQ⊥AE,從而SE⊥面ABCD,由此能證明面MNPQ⊥面SAE.(2)以E為原點(diǎn),ED,EA,ES直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)我們把一系列向量按次序排成一列,稱之為向量列,記作,已知向量列滿足:,.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)設(shè)表示向量與間的夾角,若,對于任意正整數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍
(3)設(shè),問數(shù)列中是否存在最小項(xiàng)?若存在,求出最小項(xiàng);若不存在,請說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=loga(x+3)﹣1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在mx+ny+2=0上,其中mn>0,則 的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=. ,直線x=0,x=e,y=0,y=1所圍成的區(qū)域?yàn)镸,曲線y=f(x)與直線y=1圍成的區(qū)域?yàn)镹,在區(qū)域M內(nèi)任取一個點(diǎn)P,則點(diǎn)P在區(qū)域N內(nèi)概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司“Mobike”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個城市至少要投資40萬元,由前期市場調(diào)研可知:甲城市收益與投入(單位:萬元)滿足,乙城市收益與投入(單位:萬元)滿足,設(shè)甲城市的投入為(單位:萬元),兩個城市的總收益為(單位:萬元).
(1)當(dāng)甲城市投資50萬元時,求此時公司總收益;
(2)試問如何安排甲、乙兩個城市的投資,才能使總收益最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C1的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),曲線 C2的極坐標(biāo)方程為ρcosθ﹣ ρsinθ﹣4=0.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線 C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)P為曲線C1上一點(diǎn),Q為曲線 C2上一點(diǎn),求|PQ|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是由正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)表,用表示第行第個數(shù)(). 此表中,每行中除首尾兩數(shù)外,其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩數(shù)之和.
(1)寫出數(shù)表的第6行(從左至右依次列出);
(2)設(shè)第行的第二個數(shù)為,求;
(3)令,記為數(shù)列前項(xiàng)和,求的最大值,并求此時的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)z1 , z2是復(fù)數(shù),給出下列四個命題:
①若|z1﹣z2|=0,則 = ②若z1= ,則 =z2
③若|z1|=|z2|,則z1 =z2 ④若|z1|=|z2|,則z12=z22
其中真命題的序號是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足S3=a4+4,且a2,a6,a18成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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