【題目】如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn)在上移動(dòng),點(diǎn)在上移動(dòng),,連接.
(1)證明:對(duì)任意,總有平面;
(2)當(dāng)為何值時(shí),的長(zhǎng)度最小?
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)作,交于點(diǎn),作,交于點(diǎn),連接,根據(jù)平行線成比例定理,結(jié)合已知,可以證明出四邊形為平行四邊形,利用平行四邊形的性質(zhì),線面平行的判定定理證明即可;
(2)根據(jù)平行線成比例定理,通過計(jì)算可以求出的值,利用勾股定理求出的表達(dá)式,運(yùn)用配方法求出的長(zhǎng)度最小值.
(1)證明:如圖,作,交于點(diǎn),作,交于點(diǎn),連接.
因?yàn)?/span>是正方形,所以有,因此有,因?yàn)?/span>,所以,同理可證明,因此,則四邊形為平行四邊形,.又平面,平面,
平面.
(2)由(1)知四邊形為平行四邊形,.
,
,
即,
故當(dāng)時(shí),的長(zhǎng)度有最小值,最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】是定義在R上的函數(shù),對(duì)∈R都有,且當(dāng)>0時(shí),<0,且=1.
(1)求的值;
(2)求證:為奇函數(shù);
(3)求在[-2,4]上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”的號(hào)召,小李同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后,決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)。經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為5萬元,每年生產(chǎn)萬件,需另投入流動(dòng)成本為萬元,且,每件產(chǎn)品售價(jià)為10元。經(jīng)市場(chǎng)分析,生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完。
(1)寫出年利潤(rùn)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬件)的函數(shù)解析式;
(注:年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本)
(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí),小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)隨機(jī)選取了名男生,將他們的身高作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖中數(shù)據(jù),完成下列問題.
(Ⅰ)求的值及樣本中男生身高在(單位: )的人數(shù);
(Ⅱ)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,通過樣本估計(jì)該校全體男生的平均身高;
(Ⅲ)在樣本中,從身高在和(單位: )內(nèi)的男生中任選兩人,求這兩人的身高都不低于的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的直線交橢圓于兩點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2) 設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若.
①求的值;
②求的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,直線l:x+2y=4與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)T.
(I)求橢圓C的方程和點(diǎn)T的坐標(biāo);
(Ⅱ)O為坐標(biāo)原點(diǎn),與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,直線l′與直線l交于點(diǎn)P,試判斷是否為定值,若是請(qǐng)求出定值,若不是請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),若.
(1)求拋物線的方程;
(2)若AB的中垂線交拋物線于C、D兩點(diǎn),求過A、B、C、D四點(diǎn)的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著手機(jī)的普及,大學(xué)生迷戀手機(jī)的現(xiàn)象非常嚴(yán)重.為了調(diào)查雙休日大學(xué)生使用手機(jī)的時(shí)間,某機(jī)構(gòu)采用不記名方式隨機(jī)調(diào)查了使用手機(jī)時(shí)間不超過10小時(shí)的50名大學(xué)生,將50人使用手機(jī)的時(shí)間分成5組:,,,,分別加以統(tǒng)計(jì),得到下表,根據(jù)數(shù)據(jù)完成下列問題:
使用時(shí)間/時(shí) | |||||
大學(xué)生/人 | 5 | 10 | 15 | 12 | 8 |
(1)完成頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)大學(xué)生使用手機(jī)時(shí)間的中位數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后兩位);
(2)用分層抽樣的方法從使用手機(jī)時(shí)間在區(qū)間,,的大學(xué)生中抽取6人,再從這6人中隨機(jī)抽取2人,求這2人取自不同使用時(shí)間區(qū)間的概率.
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