Question

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（Ⅰ）判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）記，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ） 時(shí)， 在單調(diào)遞減， 時(shí)， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，∴，

故在單調(diào)遞增，又 ，因此函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn).

所以的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.

（Ⅱ）由題意， ，分時(shí)和 兩種情況討論，可知的單調(diào)性；

（Ⅲ）由題意： ，

問(wèn)題等價(jià)于在恒成立，

討論可知， ，

即當(dāng)在恒成立時(shí)，必有.

當(dāng)時(shí)，設(shè)，

①若，則時(shí)，， 不恒成立.

②若,即時(shí)， 在恒成立.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，∴，

故在單調(diào)遞增，

又， ，

因此函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn).

所以的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.

（Ⅱ），

，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，由，解得（舍去負(fù)值），

所以時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

綜上時(shí)， 在單調(diào)遞減，

時(shí)， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（Ⅲ）由題意： ，

問(wèn)題等價(jià)于在恒成立，

設(shè)，

若記，

則，

當(dāng)時(shí)， ，

在單調(diào)遞增，

，

即，

若，由于，故，故，

即當(dāng)在恒成立時(shí)，必有.

當(dāng)時(shí)，設(shè)，

①若，則時(shí)，

由（Ⅱ）知， 單調(diào)遞減， ， 單調(diào)遞增，

因此，而，

即存在，使，

故當(dāng)時(shí)， 不恒成立.

②若，即時(shí)，

設(shè)，

，

由于且，

即，故，

因此，

故在單調(diào)遞增.

所以時(shí)，

即時(shí)， 在恒成立.

綜上： ， 在恒成立.