Question

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1， )處的切線方程；

(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)已知，對(duì)于函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，其中，直線的斜率為，記，若求證

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】【試題分析】（Ⅰ）由題設(shè)條件先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率；（Ⅱ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再依據(jù)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類求出其單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）分別求出k= 和將問題轉(zhuǎn)化為證明，然后設(shè)再構(gòu)造函數(shù)，最后借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)推斷函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，進(jìn)而推得從而證得：

解析：(Ⅰ)當(dāng)時(shí),

又

函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1， )處的切線方程為: ,

即

(Ⅱ) 的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)， 在上恒成立， 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令解得，

則時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

綜上， 時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為；

時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，

的單調(diào)遞增區(qū)間為

（Ⅲ）證明：

，

又，

要證： ，只需證

即證： ，設(shè)

令則

令

對(duì)稱軸.

，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則；

故.