Question

【題目】在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，且，分別為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，請求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，為的中點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可連接，與相交于點(diǎn)，易證，根據(jù)線面平行的判定定理即可證得平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，可證得平面，以為原點(diǎn)，分別以射線和為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

，分別求出平面和平面的法向量，根據(jù)二面角的求法得到的方程，求出其值，若滿足，則存在，否則不存在.

試題解析：（1）證明：連接，由正方形性質(zhì)可知，與相交于點(diǎn)，

所以，在中，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

又平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)閭?cè)面底面，交線為，所以平面，

以為原點(diǎn)，分別以射線和為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，不妨設(shè)．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

則有，假設(shè)在上存在點(diǎn)，

則．．．．．．．．．．．．．． 7分

因?yàn)閭?cè)面底面，交線為，且底面是正方形，

所以平面，則，

由得，

所以，即平面的一個(gè)法向量為．．．．．．．．．．．．．． 8分

設(shè)平面的法向理為，由即，亦即，可取．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分

解得（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

所以線段上存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，使得二面角的余弦值為．．．．．．．12分