Question

投擲四枚不同的金屬硬幣A、B、C、D，假定A、B兩枚正面向上的概率均為

1

2

，另兩枚C、D為非均勻硬幣，正面向上的概率均為a（0＜a＜1），把這四枚硬幣各投擲一次，設(shè)?表示正面向上的枚數(shù)．
（Ⅰ）若A、B出現(xiàn)一枚正面向上一枚反面向上與C、D出現(xiàn)兩枚正面均向上的概率相等，求a的值；
（Ⅱ）求?的分布列及數(shù)學期望（用a表示）；
（Ⅲ）若出現(xiàn)2枚硬幣正面向上的概率都不小于出現(xiàn)1枚和3枚硬幣正面向上的概率，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題意，得2×

1

2

×（1-

1

2

）=a²，由此能求出a．
（Ⅱ）由題意知?=0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出?的分布列和?的數(shù)學期望．
（Ⅲ）由題意知P（?=2）-P（?=1）≥0．且P（?=2）-P（?=3）≥0，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，得2×

1

2

×（1-

1

2

）=a²，
解得a=

2

2

…（3分）
（Ⅱ）由題意知?=0，1，2，3，4．…（4分）
P（?=0）=

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2=

1

4

(1-a)2，…（5分）
P（?=1）=

C

1 2

•

1

2

(1-

1

2

)C

0 2

(1-a)2+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a)，…（6分）
P（?=2）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2+

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

2 2

a2=

1

4

(1+2a-2a2)，…（7分）
P（?=3）=

C

2 2

(

1

2

)2C

1 2

a(1-a)+

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

a

2

，…（8分）
P（?=4）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

2 2

a2=

1

4

a2．…（9分）
∴?的分布列為：

?	0	1	2	3	4
p	1 4 (1-a)2	1 2 (1-a)	1 4 (1+2a-2a2)	a 2	1 4 a2

?的數(shù)學期望為：E?=1×

1

2

(1-a)+2×

1

4

(1+2a-2a2)+3×

a

2

+4×

1

4

a2=2a+1．…（10分）
（Ⅲ）由題意知P（?=2）-P（?=1）=

1

4

(1+2a-2a2)-

1

2

(1-a)=-

1

4

(2a2-4a+1)≥0．
且P（?=2）-P（?=3）=

1

4

(1+2a-2a2)-

a

2

=-

1

4

(2a2-1)≥0．…（12分）
∴

2a2-4a+1≤0 2a2-1≤0

，解得

2- 2

2

≤a≤

2

2

，
∴a的取值范圍是[

2- 2

2

，

2

2

]．…（13分）

點評：本題主要考查n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率、離散型隨機變量的期望與方差、概率的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．