Question

【題目】已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線．

1求曲線的方程；

2若直線 與曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】

試題（1）由垂直平分線的幾何意義可知，，滿足橢圓的定義。（2）直線與橢圓組方程組，由韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，可求得 ．由，得及均值不等式可求得面積的最大值．

試題解析：（Ⅰ）∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴．

又，∴．

∴曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，和為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．

設(shè)曲線的方程為．

∵，∴．

∴曲線的方程為．

（Ⅱ）設(shè)．

聯(lián)立消去，得．

此時(shí)有．

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得

，．

∴ ．

∵原點(diǎn)到直線的距離，

∴ ．

由，得．又，∴據(jù)基本不等式，得

．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)．

∴面積的最大值為．