設(shè)函數(shù)f(x)=log2(
1+x
1-ax
)
(a∈R),若f(-
1
3
)=-1

(1)求f(x)解析式并判斷其奇偶性;
(2)當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),求f(3x)的值域;
(3)g(x)=log
2
1+x
k
,若x∈[
1
2
,
2
3
]
時(shí),f(x)≤g(x)有解,求實(shí)數(shù)k取值集合.
(1)由于f(-
1
3
)=log2
1-
1
3
1+
a
3
=-1
,∴
2
3
1+
a
3
=
1
2
,即
4
3
=1+
a
3
,解得a=1,
f(x)=log2
1+x
1-x

再由
1+x
1-x
>0,求得-1<x<1
,∴定義域?yàn)椋?1,1),定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.
再根據(jù)f(-x)=log2
1-x
1+x
=log2(
1+x
1-x
)-1=-log2
1+x
1-x
=-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù).-----(3分)
(2)f(x)=log2(-1-
2
x-1
)
,∴f(3x)=log2(-1-
2
3x-1
)

∵-1≤x<0,∴-
2
3
≤3x-1<0,∴
2
3x-1
≤-3,即-
2
3x-1
≥3,
-1-
2
3x-1
≥2
,∴log2(-1-
2
3x-1
)≥log22=1
,
∴值域?yàn)閇1,+∞).-----(7分)
(3)∵log2
1+x
1-x
≤log
2
1+x
k
=2log2
1+x
k
=log2(
1+x
k
)2
,∴
1+x
1-x
≤(
1+x
k
)2

1
2
≤x≤
2
3
,∴x+1>0.-------(9分)
令 h(x)=1-x2,顯然h(x)在[
1
2
,
3
2
]上是減函數(shù),∴h(x)max=h(
1
2
)
=
3
4

∴只需k2
3
4
.又由g(x)定義域知k>0,∴0<k≤
3
2
,即k的范圍為 (0,
3
2
).-----(13分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知函數(shù)f(x)=
sinπx
(x2+1)(x2-2x+2)
.對于下列命題:
①函數(shù)f(x)是周期函數(shù);②函數(shù)f(x)既有最大值又有最小值;
③函數(shù)f(x)的定義域是R,且其圖象有對稱軸;
④對于任意x∈(-1,0),f′(x)<0(f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)).
其中真命題的序號(hào)是______.(填寫出所有真命題的序號(hào))

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知f(x)是周期為2的偶函數(shù).當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)的圖象是如圖中的線段AB,那么f(
4
3
)
=______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

函數(shù)的定義域?yàn)镽,若都是奇函數(shù),則(   )        
A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)
C.D.是奇函數(shù)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(Ⅰ)求f(x)的最小值h(t);
(Ⅱ)若h(t)<-2t+m對t∈(0,2)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

對?a、b∈R,運(yùn)算“⊕”、“?”定義為:a⊕b=
a(a<b)
b(a≥b)
,a?b=
a(a≥b)
b(a<b)
,則下列各式其中不恒成立的是( 。
(1)a?b+a⊕b=a+b
(2)a?b-a⊕b=a-b
(3)[a?b]•[a⊕b]=a•b
(4)[a?b]÷[a⊕b]=a÷b.
A.(1)(3)B.(2)(4)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(3)(4)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=4x-2•2x+1-6,其中x∈[0,3].
(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值;
(2)若實(shí)數(shù)a滿足:f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
2x-b
2x+a
是奇函數(shù).
(1)求a,b的值;
(2)利用定義判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性;
(3)若對任意t∈[0,1],不等式f(2t2+kt)+f(k-t2)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

f(x)為奇函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù),若f(-2)=0,則x•f(x)>0的解集是( 。
A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(2,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案