Question

已知曲線C₁：y=ax²，（a＞0）上一點A（1，a）到原點的距離是，過原點O作OM、ON交C₁于M、N兩點，直線MN交y軸于點Q（0，y₀），
（1）求曲線C₁的方程；（2）當(dāng)∠MON為銳角時，求y₀的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得 =，∴a=5，故曲線C₁的方程為 y=5x²．
（2）設(shè)M （m，5m² ）、N （n，5n² ），則直線MN的方程為 ，
令 x=0，可得 y₀=-5mn．
由∠MON為銳角可得 =mn+25m²n²＞0，∴mn＜-，或 mn＞0，
∴y₀＜0，或 y₀＞，
故y₀的取值范圍是．
分析：（1）由題意可得 =，故a=5，故曲線C₁的方程為 y=5x²．
（2）設(shè)M （m，5m² ）、N （n，5n² ），則由直線MN的方程求出y₀=-5mn，由∠MON為銳角可得＞0，可得 mn＜-，或 mn＞0，從而求得y₀的取值范圍．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，求出 mn＜-，或 mn＞0，是解題的關(guān)鍵．