Question

已知曲線C₁：y=ax²+b和曲線C₂：y=2blnx（a，b∈R）均與直線l：y=2x相切．
（1）求實數a、b的值；
（2）設直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于點M，N，P，記f（t）=|MP|-|NP|，求f（t）在區(qū)間（0，e]（e為自然對數的底）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意及導數的幾何含義可以先設出兩個切點的坐標，利用條件建立a，b方程解出即可；
（2）由題意直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于點M，N，P，可以聯立直線方程與曲線方程及直線方程，求出M，N，P的坐標，利用兩點間的距離公式得到
（t）=|MP|-|NP|的函數表達式，在有定義域求出值域即可．

解答：解：（1）設曲線C₁，C₂與直線l相切的切點分別是（t₁，at₁²+b），（t₂，2blnt₂），
則at12+b=2t1，at22+b=2t2
對函數分別求導可得，y^'=2at，y′=

2b

x

則

2at1=2 2b t2 =2

?

t1= 1 a t2=b

，
所以切線方程分別為：y-

1

a

=2(x-

1

a

)，y-2blnb=2（x-b），即為y=2x
所以

b- 1 a =0 2blnb=2b

∴

b=e a= 1 e

（2）由（1）可得線C₁：y=

1

e

x²+e和曲線C₂：y=2elnx，L；y=2x
由題意可以得到：

x=t y= x2 e +e

，

x=t y=2elnx

，

x=t y=2x

∴M（t，

t2

e

+e），N（t，2elnt），P（t，2t），
所以f（t）=|MP|-|NP|=

1

e

t2-4t+2elnt+e，f′(t)=

2t

e

-4+

2e

t

≥0在t∈（0，e]恒成立
所以函數f（t）在定義域上位單調遞增函數，所以（f（t）_max=f（e）=0．

點評：此題考查了導數的幾何含義及利用方程的思想求解未知的變量的知，還考查了聯立方程解交點，及利用導函數求出函數的單調性并利用單調性求出函數的最大值．