【題目】如圖，與等邊所在的平面相互垂直，，為線段中點，直線與平面交于點.，.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)由條件可得平面，則，又為等邊三角形可得，從而可得平面，從而得證.
(2)由條件可得平面，即得到，所以為的中點，以中點為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系,用向量法求二面角的余弦值.

（1）證明：因為平面平面，且兩平面交于，，

所以平面，則.

又因為為等邊三角形，為線段中點，

所以.

因為，所以平面，

因為平面，所以平面平面

（2）解：因為，平面，且平面，

所以平面，因為平面平面，

所以，所以為的中點.

以中點為坐標原點，為軸，建立空間直角坐標系，如圖.

根據(jù)已知可得：，，，，

所以，，

設平面的法向量，

由可得

取，則，，

所以平面的一個法向量，

由（Ⅰ）得平面，

所以平面的一個法向量，

設二面角的大小為，

所以，

所以二面角的平面角的余弦為.

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