某同學在研究函數(shù)f（x）=x2ex的性質(zhì)時，得到如下的結(jié)論：
①f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，0）；
②f（x）無最小值，無最大值
③f（x）的圖象與它在（0，0）處切線有兩個交點
④f（x）的圖象與直線x-y+2012=0有兩個交點
其中正確結(jié)論的序號是________．

①④
分析：①求導函數(shù)，令f′（x）＜0，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
②令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到結(jié)論；
③求得函數(shù)在（0，0）處切線方程，結(jié)合f（x）=x2ex＞0，可得結(jié)論；
④由②及f（x）=x2ex＞0，即可得到f（x）的圖象與直線x-y+2012=0有兩個交點．
解答：求導函數(shù)，可得f′（x）=x2ex=（2x+x2）ex，
①令f′（x）＜0，可得2x+x2＜0，∴-2＜x＜0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，0），即①正確；
②令f′（x）＞0，可得2x+x2＞0，∴x＜-2或x＞0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2），（0，+∞），∴函數(shù)在x=-2處取得極大值，且為最大值；在x=0處取得極小值，且為最小值，即②不正確；
③f′（0）=0，f（0）=0，則函數(shù)在（0，0）處切線方程為y=0，∵f（x）=x2ex＞0，∴f（x）的圖象與它在（0，0）處切線有一個交點（0，0），即③不正確；
④由②及f（x）=x2ex＞0，即可得到f（x）的圖象與直線x-y+2012=0有兩個交點，即④正確，
綜上可知，正確結(jié)論的序號是①④
故答案為：①④
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某同學在研究函數(shù)f（x）=
x1+|x|
（x∈R）時，分別給出下面幾個結(jié)論：
①f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
③若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
④函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確結(jié)論的序號有
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某同學在研究函數(shù) f （x）=
x1+|x|
（x∈R） 時，分別給出下面幾個結(jié)論：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數(shù) f （x） 的值域為 （-1，1）；
③若x1≠x2，則一定有f （x1）≠f （x2）；
④方程f（x）-x=0有三個實數(shù)根．
其中正確結(jié)論的序號有
①②③
①②③
．（請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某同學在研究函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
（x∈R）時，給出了下面幾個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；②若f（x1）=f（x2），則恒有x1=x2；③f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
④若規(guī)定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，則fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立，
上述結(jié)論中所有正確的結(jié)論是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某同學在研究函數(shù)f(x)=
2x|x|+1
(x∈R)時，分別得出如下幾個結(jié)論：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數(shù)f（x）的值域為（-2，2）；
③若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
④函數(shù)y（x）=f（x）-2x在R上有三個零點．
其中正確的序號有
①②③
①②③
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•上海模擬）某同學在研究函數(shù)f(x)=
x1+|x|
 (x∈R)時，分別給出下面幾個結(jié)論：
①等式f（-x）+f（x）=0對x∈R恒成立；
②若f（x1）≠f（x2），則一定有x1≠x2；
③若m＞0，方程|f（x）|=m有兩個不等實數(shù)根；
④函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確結(jié)論的序號有
①②
①②
．（請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上）

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