(2009•上海模擬)某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=
x1+|x|
 (x∈R)
時,分別給出下面幾個結(jié)論:
①等式f(-x)+f(x)=0對x∈R恒成立;
②若f(x1)≠f(x2),則一定有x1≠x2;
③若m>0,方程|f(x)|=m有兩個不等實數(shù)根;
④函數(shù)g(x)=f(x)-x在R上有三個零點.
其中正確結(jié)論的序號有
①②
①②
.(請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上)
分析:①因為f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
是奇函數(shù),所以f(-x)+f(x)=0對x∈R恒成立;②可以定義證明f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),所以f(x1)≠f(x2),則一定有x1≠x2成立;③因為f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),所以方程|f(x)|=m不可能有兩個不等的實數(shù)根;④可以判斷g(x)為奇函數(shù),并且g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,即g(x)在(-∞,0)上g(x)>0,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即g(x)在(0,+∞)上g(x)<0,故函數(shù)g(x)=f(x)-x在R上只有一個零點.
解答:解:由題意知
①因為f(-x)=
-x
1+|-x|
=-(
x
1+|x|
)=-f(x)(x∈R)
,所以f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
是奇函數(shù),故f(-x)+f(x)=0對x∈R恒成立,即①正確;
②則當(dāng)x>0時,f(x)=
1
1+
1
x
反比例函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)
再由①知f(x)在(-∞,0)上也是增函數(shù),從而f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),
所以f(x1)≠f(x2),則一定有x1≠x2成立,故命題錯誤;
③因為f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),所以|f(x)|為偶函數(shù),因為f(x)在(0,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,且0≤|f(x)|<1,所以當(dāng)0<m<1時有兩個不相等的實數(shù)根,當(dāng)m≥1時不可能有兩個不等的實數(shù)根,故本命題錯誤;
④可以判斷g(x)為奇函數(shù),并且g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,即g(x)在(-∞,0)上g(x)>0,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即g(x)在(0,+∞)上g(x)<0,故函數(shù)g(x)=f(x)-x在R上有一個零點.錯誤
故答案為:①②.
點評:本題考查函數(shù)的定義域,單調(diào)性,奇偶性,值域,考查全面,方法靈活,這四個問題在研究時往往是同時考慮的.
練習(xí)冊系列答案
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(2009•上海模擬)在解決問題:“證明數(shù)集A={x|2<x≤3}沒有最小數(shù)”時,可用反證法證明.假設(shè)a(2<a≤3)是A中的最小數(shù),則取a′=
a+2
2
,可得:2=
2+2
2
<a′=
a+2
2
a+a
2
=a≤3
,與假設(shè)中“a是A中的最小數(shù)”矛盾!那么對于問題:“證明數(shù)集B={x|x=
n
m
,m,n∈N*,并且n<m}
沒有最大數(shù)”,也可以用反證法證明.我們可以假設(shè)x=
n0
m0
是B中的最大數(shù),則可以找到x'=
n0+1
m0+1
n0+1
m0+1
(用m0,n0表示),由此可知x'∈B,x'>x,這與假設(shè)矛盾!所以數(shù)集B沒有最大數(shù).

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(2009•上海模擬)定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實數(shù)a的值;
(2)已知關(guān)于x的不等式sinxcosx+
3
cos2x+b>0
,x∈[0,π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過
π
3
,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)已知關(guān)于x的不等式組
7
x+1
>1 
log2x+log2(tx+3t)<2
的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實數(shù)t的取值范圍.

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(2009•上海模擬)已知全集U=R,集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x||x-2|<2,x∈R},那么集合A∩B=
{x|0<x≤3}
{x|0<x≤3}

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(2009•上海模擬)已知集合A={z|z=1+i+i2+…+in,n∈N*},B={ω|ω=z1•z2,z1、z2∈A},(z1可以等于z2),從集合B中任取一元素,則該元素的模為
2
的概率為
2
7
2
7

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(2009•上海模擬)已知點列B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)順次為直線y=
x4
上的點,點列A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0),…(n∈N*)順次為x軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對任意的n∈N*,點An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點的等腰三角形.
(1)證明:數(shù)列{yn}是等差數(shù)列;
(2)求證:對任意的n∈N*,xn+2-xn是常數(shù),并求數(shù)列{xn}的通項公式;
(3)對上述等腰三角形AnBnAn+1添加適當(dāng)條件,提出一個問題,并做出解答.(根據(jù)所提問題及解答的完整程度,分檔次給分)

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