Question

某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）時(shí)，給出了下面幾個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；②若f（x₁）=f（x₂），則恒有x₁=x₂；③f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則fn(x)=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N*恒成立，
上述結(jié)論中所有正確的結(jié)論是（　　）

A．②③

B．②④

C．①③

D．①②④

Answer 1

分析：根據(jù)題意，以此分析命題：①函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1），可由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)證明得；②可從反面考慮，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），可根據(jù)函數(shù)的解析式判斷出其是一個(gè)增函數(shù)，；③與②的判斷方法一樣；④由其形式知，此是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，故采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，即可得答案．

解答：解：①|(zhì)x|＜1+|x|，故

x

1+|x|

∈(-1，1)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1），①正確；
②函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

是一個(gè)奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

，判斷知函數(shù)在（0，+∞）上是一個(gè)增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）是一個(gè)增函數(shù)，故若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），
從而有若f（x₁）=f（x₂），則恒有x₁=x₂；
此命題正確；
③由②已證f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，故此命題不正確；
④當(dāng)n=1，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f2(x)=

x 1+|x|

1+ |x| 1+|x|

=

x

1+2|x|

，
假設(shè)n=k時(shí)，fk(x)=

x

1+k|x|

成立，則n=k+1時(shí)，fk+1(x)=

x 1+k|x|

1+  |x| 1+k|x|

=

x

1+(k+1)|x|

成立，
由數(shù)學(xué)歸納法知，此命題正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，函數(shù)的定義域，單調(diào)性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個(gè)問題在研究時(shí)往往是同時(shí)考慮的．