Question

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和Sn= —a—()+2   (n為正整數(shù)).
（1）證明：a=a+ ().,并求數(shù)列{a}的通項(xiàng)
（2）若=，T= c+c+···+c，求T.

Answer 1

⑴a=. ⑵T=3—.

本試題主要是考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求解以及數(shù)列的求和的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)閿?shù)列{a}的前n項(xiàng)和Sn= —a—()+2   (n為正整數(shù)).
利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的 關(guān)系得到a=a+ ().,并求數(shù)列{a}的通項(xiàng)
（2）根據(jù)第一問得到=，然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法得到數(shù)列的和式。
解：⑴由S= —a_n—（）+2，得S= —a—()+2，兩式相減，得a=
—a+ a+()，即a=a+().---------------------------------------2分
因?yàn)镾= —a—（）+2，令n=1，得a=.對(duì)于a=a+()，兩端同時(shí)除以()，得2a=2a+1，即數(shù)列{2a}是首項(xiàng)為2·a=1，公差為1的等差數(shù)列，故2a=n，所以a=.------------------------------------6分
⑵由⑴及=，得c= (n+1)()，
所以T=2×+3×（）+4×（）+···+(n+1) ()，①
T=2×（）+3×（）+4×（）+···+(n+1) ()，②
由①—②，得
T=1+（）+（）+···+()－(n+1) ()=1+—
(n+1) ()=—.  所以T=3—.------------------------------------12分