Question

已知關(guān)于x，y的二元二次方程x²+y²+2x-4y+k=0（k∈R）表示圓C．
（1）求圓心C的坐標(biāo)；
（2）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使直線l：x-2y+4=0與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請求出k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,二元二次方程表示圓的條件

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由方程x²+y²+2x-4y+k=變形為（x+1）²+（y-2）²=5-k，可得圓心C的坐標(biāo)；
（2）由于此方程表示圓，可得5-k＞0，解出即可；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與圓的方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)關(guān)系，再利用OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，即可解出k．

解答： 解：（1）由方程x²+y²+2x-4y+k=變形為（x+1）²+（y-2）²=5-k．
∴圓心C的坐標(biāo)為（-1，2）；
（2）∵此方程表示圓，∴5-k＞0，解得k＜5，故k的取值范圍是（-∞，5）；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立直線與圓可得5y²-16y+8+k=0，
∵直線與圓相交，∴△=16²-20（8+k）＞0，化為k＜

24

5

．
∴y₁+y₂=

16

5

，y₁y₂=

8+m

5

．
∴x₁x₂=（4-2y₁）（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂，
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，
∴8+k-

8×16

5

+16=0，
解得k=

8

5

，滿足k＜

24

5

，
故k=

8

5

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．