Question

已知sinx-cosx=t
（Ⅰ）用t表示sin³x-cos³x的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx，x∈[0，π]的最大值和最小值．（參考公式：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由sinx-cosx=t，兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡表示出sinxcosx，
（Ⅰ）原式利用立方差公式化簡后，將表示出的sinx-cosx與sinxcosx代入即可表示sin³x-cos³x；
（Ⅱ）已知等式左邊變形后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定t的范圍，即可求出y的最大值與最小值．

解答： 解：由sinx-cosx=t，得1-2sinxcosx=t²，即sinxcosx=

1-t2

2

，
（Ⅰ）sin³x-cos³x=（sinx-cosx）（1+sinxcosx）=t（1+

1-t2

2

）=

3t-t3

2

；
（Ⅱ）由題設(shè)知：t=

2

sin（x-

π

4

），-

π

4

≤x-

π

4

≤

3π

4

，
∴-

2

2

≤sin（x-

π

4

）≤1，
∴y=t+

1-t2

2

=-

1

2

t²+t+

1

2

=-

1

2

（t-1）²+1，且t∈[-1，

2

]，
∴當(dāng)t=1時(shí)，y_max=1；當(dāng)t=-1時(shí)，y_min=-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．