Question

【題目】若數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.已知數(shù)列為無窮數(shù)列.

（1）若為等比數(shù)列，且，判斷數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，并說明理由；

（2）若為等差數(shù)列，且公差，求證：數(shù)列不具有“性質(zhì)”；

（3）若等差數(shù)列具有“性質(zhì)”，且，求數(shù)列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列具有“性質(zhì)”.見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）由題可知，為等比數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的公比為，則，，根據(jù)條件整理得出，所以數(shù)列具有“性質(zhì)”；

（2）由于為等差數(shù)列，且公差，則，分類討論和時，都得出不存在正整數(shù)，使得，則當(dāng)時，數(shù)列不具有“性質(zhì)”；

（3）已知等差數(shù)列具有“性質(zhì)”，且，設(shè)數(shù)列的公差為，則，且對任意，都存在正整數(shù)，使得，結(jié)合條件可求出或，即可求出數(shù)列的通項公式.

（1）解：數(shù)列具有“性質(zhì)”.

由題可知，為等比數(shù)列，且，

設(shè)數(shù)列的公比為，則，，

對任意正整數(shù)，，，

因為，所以，則，

即對任意正整數(shù)，，存在，使得，

所以數(shù)列具有“性質(zhì)”.

（2）證明：由于為等差數(shù)列，且公差，

則，

①若，則，，

所以不存在正整數(shù)，使得.

②若，則當(dāng)時，

，，

所以不存在正整數(shù)，使得；

綜上，當(dāng)時，數(shù)列不具有“性質(zhì)”.

（3） 解：已知等差數(shù)列具有“性質(zhì)”，且，

設(shè)數(shù)列的公差為，則，

由已知，對任意，都存在正整數(shù)，使得，

即，

所以，且 ①

對任意，設(shè)，

，，

所以，得，

因此 ②

由（2）知，

又由①、②可得或，

當(dāng)時，，，不滿足要求，

所以，，

可以驗證滿足要求.