Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線交C于A、B兩點(diǎn)，M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，那么

MA

•

MB

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線方程求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，設(shè)出A，B，M的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，帶入

MA

•

MB

的表達(dá)式化簡(jiǎn)整理，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值．

解答： 解：依題意知2p=4，
∴p=2，
∴拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），
∴直線AB的方程為y=x-1，

y2=4x y=x-1

，消去y得x²-6x+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，0），
∴

MA

•

MB

=（x₁-x）（x₂-x）+y₁y2
=（x₁-x）（x₂-x）+（x₁-1）（x₂-1）
=2x₁x₂-（x+1）（x₁+x₂）+x²+1
=2-（x+1）•6+x²+1
=x²-6x-3
=（x-3）²-12，
∴當(dāng)x=3，即點(diǎn)M為（3，0）時(shí)

MA

•

MB

有最小值，最小值為-12．
故答案為：-12

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用．