【題目】如圖,設(shè)斜率為k(k>0)的直線l與橢圓C: + =1交于A、B兩點,且OA⊥OB.
(Ⅰ)求直線l在y軸上的截距(用k表示);
(Ⅱ)求△AOB面積取最大值時直線l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)l:y=kx+t,A(x1 , y1),B(x2 , y2), ∵斜率為k(k>0)的直線l與橢圓C: + =1交于A、B兩點,且OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,∴ ,
∴x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,∴(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,(*)
聯(lián)立 ,消去y,得x2+3(kx+t)2=9,即(1+3k2)x2+6ktx+3t2﹣9=0,
則 ,x1x2= 三,且△>0,代入(*)
從而得(1+k2)(3t2﹣9)﹣6k2t2+t2(1+3k2)=0,∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0,
∴ ,∴t=± ,
∴直線l在y軸上的截距為 或﹣ .
(Ⅱ)設(shè)△AOB的面積為S,O到直線l的距離為d,則S= |AB|d,
而由(1)知d= ,且|AB|=
= = = ,
∴ ≤ ,
當(dāng) 時, ,解得k= ,∴t= ,
∴所求直線方程為y= 或y= .
【解析】(Ⅰ)設(shè)l:y=kx+t,A(x1 , y1),B(x2 , y2),由OA⊥OB,得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,聯(lián)立 ,得x2+3(kx+t)2=9,即(1+3k2)x2+6ktx+3t2﹣9=0,由此利用韋達定理、根的判別式,結(jié)合已知條件能求出直線l在y軸上的截距.(Ⅱ)設(shè)△AOB的面積為S,O到直線l的距離為d,則S= |AB|d,由此利用點到直線的距離公式和弦長公式能求出△AOB面積取最大值時直線l的方程.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′,設(shè)曲線C′上任一點為M(x,y),求x+2y的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標(biāo)軸上,漸近線方程為y=±x,且雙曲線過點P(4,-).
(1)求雙曲線的方程;
(2)若點M(x1,y1)在雙曲線上,求的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】分別是雙曲線的左右焦點,過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點.若為等邊三角形,則的面積為( )
A. 8 B. C. D. 16
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2009年廣東卷文)某單位200名職工的年齡分布情況如圖2,現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本,用系統(tǒng)抽樣法,將全體職工隨機按1-200編號,并按編號順序平均分為40組(1-5號,6-10號…,196-200號).若第5組抽出的號碼為22,則第8組抽出的號碼應(yīng)是 。若用分層抽樣方法,則40歲以下年齡段應(yīng)抽取 人.
圖 2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l與拋物線交于點A,B兩點,與x軸交于點M,直線OA,OB的斜率之積為.
(1)證明:直線AB過定點;
(2)以AB為直徑的圓P交x軸于E,F(xiàn)兩點,O為坐標(biāo)原點,求|OE||OF|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BCD=1200.
(1)求線段BD的長與圓的面積.
(2)求四邊形ABCD的周長的最大值.
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