【題目】已知直角梯形ABCD中, 是邊長為2的等邊三角形,AB=5.沿CE將 折起,使B至 處,且 ;然后再將 沿DE折起,使A至 處,且面 面CDE, 和 在面CDE的同側(cè).
(Ⅰ) 求證: 平面CDE;
(Ⅱ) 求平面 與平面CDE所構(gòu)成的銳二面角的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)證明:在直角梯形ABCD中,可算得
根據(jù)勾股定理可得 ,即: ,又 , 平面CDE;
(Ⅱ) 以C為原點,CE為y軸,CB為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則 , , , ,作 ,因為面 面CDE,易知, ,且 ,
從平面圖形中可知: ,易知面CDE的法向量為
設(shè)面PAD的法向量為 ,且 .
解得
故所求平面 與平面CDE所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為 .
【解析】(1)由已知結(jié)合折疊特點得到B'C⊥DE,再利用勾股定理計算可得出B C ⊥ E C,結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證B ' C ⊥ 平面CDE。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求出各個點的坐標(biāo)進而求出各個向量的坐標(biāo),設(shè)出平面PAD和平面CDE的法向量,由向量垂直的坐標(biāo)運算公式可求出法向量,再利用向量的數(shù)量積運算公式求出余弦值即可。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓M: =1(a>b>0)的離心率為 ,左焦點F1到直線 的距離為3,圓N的方程為(x﹣c)2+y2=a2+c2(c為半焦距),直線l:y=kx+m(k>0)與橢圓M和圓N均只有一個公共點,分別設(shè)為A,B.
(1)求橢圓M的方程和直線l的方程;
(2)在圓N上是否存在點P,使 ,若存在,求出P點坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四個函數(shù):①y=﹣x,②y=﹣ ,③y=x3 , ④y=x ,從中任選2個,則事件“所選2個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點”的概率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 , , ,向量 與 垂直,且 .
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)若數(shù)列 滿足 ,求數(shù)列 的前 項和 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 .
(1)若函數(shù) 的圖象在點 處的切線平行于直線 ,求 的值;
(2)討論函數(shù) 在定義域上的單調(diào)性;
(3)若函數(shù) 在 上的最小值為 ,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣2ex2+mx﹣lnx,記g(x)= ,若函數(shù)g(x)至少存在一個零點,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,e2+ ]
B.(0,e2+ ]
C.(e2+ ,+∞]
D.(﹣e2﹣ ,e2+ ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) f(x)=2lnx+x2﹣ax. (Ⅰ)當(dāng)a=5時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2)是曲線y=f(x)圖象上的兩個相異的點,若直線AB的斜率k>1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2 , x1<x2且x2>e,若f(x1)﹣f(x2)≥m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓()的離心率是,點在短軸上,且。
(1)球橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點,過點的動直線與橢圓交于兩點。是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若不等式ln(x+2)+a(x2+x)≥0對于任意的x∈[﹣1,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[0,+∞)
B.[0,1]
C.[0,e]
D.[﹣1,0]
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