Question

已知函數(shù)f（x）=（a+2cos²x）cos（2x+θ）為奇函數(shù)，且f（

π

4

）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（

α

4

）=-

2

5

，α∈（

π

2

，π），求sin（α+

π

3

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）把x=

π

4

代入函數(shù)解析式可求得a的值，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推斷出f（0）=0，進(jìn)而求得cosθ，則θ的值可得．
（2）利用f（

α

4

）=-

2

5

和函數(shù)的解析式可求得sin

α

2

，進(jìn)而求得cos

α

2

，進(jìn)而利用二倍角公式分別求得sinα，cosα，最后利用兩角和與差的正弦公式求得答案．

解答： 解：（1）f（

π

4

）=-（a+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=-1
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=

π

2

．
（2）由（1）知f（x）=（-1+2cos²x）cos（2x+

π

2

）=cos2x•（-sin2x）=-

1

2

sin4x，
∴f（

α

4

）=-

1

2

sinα=-

2

5

，
∴sinα=

4

5

，
∵α∈（

π

2

，π），
∴cosα=

1- 16 25

=-

3

5

，
∴sin（α+

π

3

）=sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

=

4-3 3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)奇偶性問題．綜合運(yùn)用了所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．