Question

（1）求證：當a、b、c為正數(shù)時，（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9．
（2）已知x＞0，y＞0，證明不等式：（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題

分析：（1）將所證不等式的左端展開，重新組合，利用基本不等式即可證得結(jié)論成立；
（2）利用分析法，要證原不等式成立，只需證明變形后的不等式x²+y²＞

2

3

xy成立即可，利用基本不等式，上式易證，從而證得原不等式成立．

解答： （1）證明：左邊=3+(

a

b

+

b

a

)+(

c

b

+

b

c

)+(

a

c

+

c

a

)≥3+2+2+2=9，
∴(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)≥9…（6分）
（2）證明：（分析法）要證不等式：（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

，
只需證明（x²+y²）³＞（x³+y³）²，
即：x⁶+y⁶+3x²y²（x²+y²）＞x⁶+y⁶+2x³y³，
即：3x²y²（x²+y²）＞2x³y³，
只需證：x²+y²＞

2

3

xy，
∵x²+y²≥2xy＞

2

3

xy成立，
∴（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．                 …（12分）

點評：本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的應(yīng)用，考查分析法、綜合法，考查推理證明能力，屬于中檔題．