Question

（2012•鹽城三模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知向量

m

=(b，a-2c)，

n

=(cosA-2cosC，cosB)，且

m

⊥

n

．
（1）求

sinC

sinA

的值；
（2）若a=2，|m|=3

5

，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）由

m

⊥

n

可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
法一：根據(jù)正弦定理可得，sinBcosA-2sinBcosC+sinAcosB-2sinCcosB
法二：根據(jù)余弦定理可得，b×

b2+c2-a2

2bc

+a×

a2+c2-b2

2ac

-2b×

a2+b2-c2

2ab

-2c×

a2+c2-b2

2ac

=0
化簡可得

c

a

，然后根據(jù)正弦定理可求

sinC

sinA

=

c

a

（2）由（1）c=2a可求c，由|

m

|可求b，結(jié)合余弦定理可求cosA，利用同角平方關(guān)系可求sinA，代入三角形的面積公式S=

1

2

bcsinA可求

解答：解：（1）法一：由

m

⊥

n

可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
根據(jù)正弦定理可得，sinBcosA-2sinBcosC+sinAcosB-2sinCcosB=0
∴（sinBcosA-sinAcosB）-2（sinBcosC+sinCcosB）=0
∴sin（A+B）-2sin（B+C）=0
∵A+B+C=π
∴sinC-2sinA=0
∴

sinC

sinA

=2
（法二）：由

m

⊥

n

可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
根據(jù)余弦定理可得，b×

b2+c2-a2

2bc

+a×

a2+c2-b2

2ac

-2b×

a2+b2-c2

2ab

-2c×

a2+c2-b2

2ac

=0
整理可得，c-2a=0
∴

sinC

sinA

=

c

a

=2
（2）∵a=2，|m|=3

5

由（1）可知c=2a=4

b2+(a-2c)2

=3

5

∴b=3
∴cosA=

32+42-22

2×3×4

=

7

8

，sinA=

1-( 7 8 )2

=

15

8

∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×4×

15

8

=

3 15

4

點(diǎn)評：本題以向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體主要考查了正弦定理及余弦定理在三角形求解中的應(yīng)用，屬于三角知識的綜合應(yīng)用