Question

怎樣求二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)在閉區(qū)間[p，q]上的最值？

Answer 1

答案：
解析：

解：畫(huà)出函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈[－2，3]的圖像，如下圖所示． 　　觀察圖像，得函數(shù)f(x)＝x2－2x在區(qū)間[－2，1]上是減函數(shù)，則此時(shí)最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；函數(shù)f(x)＝x2－2x在區(qū)間(1，3]上是增函數(shù)，則此時(shí)最大值是f(3)＝3，最小值是f(1)＝－1； 　　則函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈[－2，3]的最大值是8，最小值是－1．因此可見(jiàn)，求二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在閉區(qū)間[p，q]上的最值的關(guān)鍵是看二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)和對(duì)稱軸x＝的相對(duì)位置，由此確定其單調(diào)性，再由單調(diào)性求得最值． 　　可以利用同樣方法歸納出結(jié)論： 　　若a＞0，則 　　(1)當(dāng)＜p，即對(duì)稱軸在區(qū)間[p，q]的左邊時(shí)，畫(huà)出草圖如圖(1)，從圖像上易得f(x)在[p，q]上是增函數(shù)，則f(x)min＝f(p)，f(x)max＝f(q)． 　　(2)當(dāng)p≤≤，即對(duì)稱軸在區(qū)間[p，q]的左端點(diǎn)與區(qū)間中點(diǎn)之間時(shí)，畫(huà)出草圖如圖(2)．從圖像上易得f(x)在[p，q]上的最值情況是f(x)min＝f()＝，f(x)max＝f(q)． 　　(3)當(dāng)＜≤q，即對(duì)稱軸在區(qū)間[p，q]的中點(diǎn)與右端點(diǎn)之間時(shí)，畫(huà)出草圖如圖(3)．從圖像上易得f(x)在[p，q]上的最值情況是f(x)min＝f()＝，f(x)max＝f(p)． 　　(4)當(dāng)＞q，即對(duì)稱軸在區(qū)間[p，q]的右邊時(shí)，畫(huà)出草圖如圖(4)．從圖像上易得f(x)在[p，q]上是減函數(shù)，則f(x)min＝f(q)，f(x)max＝f(p)． 　　對(duì)a＜0的情況，可類似得出． 　　即二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在閉區(qū)間[p，q]上的最值： 　　設(shè)f(x)在區(qū)間[p，q]上的最大值為M，最小值為m，x0＝(p＋q)． 　　結(jié)合圖像得： 　　當(dāng)a＞0時(shí)， 　　若＜p，則f(p)＝m，f(q)＝M； 　　若p≤≤x0，則f()＝m，f(q)＝M； 　　若x0＜≤q，則f(p)＝M，f()＝m； 　　若＞q，則f(p)＝M，f(q)＝m． 　　當(dāng)a＜0時(shí)， 　　若＜p，則f(p)＝M，f(q)＝m； 　　若p≤≤x0，則f()＝M，f(q)＝m； 　　若x0＜≤q，則f(p)＝m，f()＝M； 　　若＞q，則f(p)＝m，f(q)＝M．

提示：

剖析：求二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在閉區(qū)間[p，q]上的最值時(shí)，易錯(cuò)認(rèn)為最大值是f(q)，最小值是f(p)．其突破方法是結(jié)合二次函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[p，q]上的圖像，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出．我們知道，①如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y＝f(x)在x＝b處有最大值f(b)；②如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c)上單調(diào)遞增，則函數(shù)y＝f(x)在x＝b處有最小值f(b)．因此二次函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[p，q]上的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷其單調(diào)性問(wèn)題． 　　例如：求函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈[－2，3]的最大值和最小值． 　　思路分析：畫(huà)出函數(shù)的圖像，寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出．