【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若不等式f(x)≤0恒成立,則 的最小值為

【答案】﹣
【解析】解:∵函數(shù)f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對數(shù)的底數(shù), ∴ ,x>0,
當a≤e時,f′(x)>0,
f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)≤0不可能恒成立,
當a>e時,由 ,得x=
∵不等式f(x)≤0恒成立,∴f(x)的最大值為0,
當x∈(0, )時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,
當x∈( ,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,
∴當x= 時,f(x)取最大值,
f( )=﹣ln(a﹣e)﹣b﹣1≤0,
∴l(xiāng)n(a﹣e)+b+1≥0,
∴b≥﹣1﹣ln(a﹣e),
(a>e),
令F(x)= ,x>e,
F′(x)= = ,
令H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,
H′(x)=ln(x﹣e)+1,
由H′(x)=0,得x=e+ ,
當x∈(e+ ,+∞)時,H′(x)>0,H(x)是增函數(shù),
x∈(e,e+ )時,H′(x)<0,H(x)是減函數(shù),
∴當x=e+ 時,H(x)取最小值H(e+ )=﹣e﹣ ,
∵x→e時,H(x)→0,x>2e時,H(x)>0,H(2e)=0,
∴當x∈(e,2e)時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)是減函數(shù),
當x∈(2e,+∞)時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)是增函九,
∴x=2e時,F(xiàn)(x)取最小值,F(xiàn)(2e)= =﹣
的最小值為﹣
故答案為:﹣
求出 ,x>0,當a≤e時,f′(x)>0,f(x)≤0不可能恒成立,當a>e時,由 ,得x= ,由題意當x= 時,f(x)取最大值0,推導出 (a>e),令F(x)= ,x>e,F(xiàn)′(x)= ,令H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,H′(x)=ln(x﹣e)+1,由此利用導數(shù)性質能求出 的最小值.

練習冊系列答案
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