Question

已知直線l：x=4與x軸相交于點(diǎn)M，P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足PM⊥PO（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過直線l上一點(diǎn)D（D≠M(fèi)）作曲線C的切線，切點(diǎn)為E，與x軸相交點(diǎn)為F，若

DE

=

1

2

DF

，求切線DE的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由PM⊥PO得k_PM•k_PO =-1，整理可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為（x-2）²+y²=2²（x≠0且x≠4）．
（2）由切線的性質(zhì)可得DE=DM，因?yàn)?span id="x8bhjnt" class="MathJye">

DE

=

1

2

DF

，故有 DF=2DE=2DM，在△CEF中，求出CE=2 可得CF=4，F(xiàn)（-2，0），
由切線的傾斜角求得切線DE的斜率，點(diǎn)斜式求得切線DE的方程．

解答：解：（1）依題意，M（4，0），設(shè)P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO得k_PM•k_PO =-1，
即 

y

x-4

•

y

x

=-1，整理得，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為（x-2）²+y²=2²（x≠0且x≠4）．
（2）DE、DM都是圓（x-2）²+y²=2²的切線，所以，DE=DM，
因?yàn)?span id="pcc78r7" class="MathJye">

DE

=

1

2

DF

，所以DF=2DE=2DM，所以，∠DFM=

π

6

，
設(shè)C（2，0），在△CEF中，∠CEF=

π

2

，∠CFE=

π

6

，CE=2，所以，CF=4，F(xiàn)（-2，0），
切線DE的傾斜角α=

π

6

，或

5π

6

．  所以，切線DE的斜率k=

3

3

，或-

3

3

，
故切線DE的方程為y=±

3

3

(x+2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法，用點(diǎn)斜式求直線的方程，其中，軌跡方程中x≠0且x≠4容易被忽視，是易錯(cuò)點(diǎn)．