Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（2）若為自然數(shù)，則當(dāng)取哪些值時(shí)，方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)為某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集得的取值范圍，（2）結(jié)合三次函數(shù)圖像確定的取值范圍：當(dāng),且時(shí)，方程在上有可能有三個(gè)不等實(shí)根，再根據(jù)端點(diǎn)值大小確定實(shí)數(shù)的滿足的條件： ，最后解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，

由或,由，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

欲使在上為單調(diào)函數(shù)，則.

（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故當(dāng)或時(shí)，方程在上不可能有三個(gè)不等實(shí)根，

所以,且.

當(dāng),且時(shí)，方程在上有三個(gè)不等實(shí)根，

只需滿足即可.

因?yàn)?/span>，且，

因而，

所以，即，

綜上所述，當(dāng),且時(shí)，滿足題意，此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.