Question

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（實(shí)數(shù)a，b，c為常數(shù)）的圖象過原點(diǎn)，且在x=1處的切線為直線y=-

1

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若常數(shù)m＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-m，m]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過原點(diǎn)，可得f（0）=c=0．求導(dǎo)函數(shù)，利用在x=1處的切線為直線y=-

1

2

，即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）f（x）=x³-

3

2

x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），確定函數(shù)的單調(diào)性與極大值，將端點(diǎn)函數(shù)值與極大值比較，進(jìn)行分類討論，即可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-m，m]上的最大值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過原點(diǎn)，
∴f（0）=c=0，
求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1處的切線為直線y=-

1

2

．
∴f（1）=1+a+b=-

1

2

，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-

3

2

，b=0，
∴f（x）=x³-

3

2

x²，
（2）f（x）=x³-

3

2

x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函數(shù)在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增；在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在x=0處取得極大值0，
令f（x）=x³-

3

2

x²=0，可得x=0或x=

3

2

，
∴0＜m＜

3

2

時(shí)，f（m）＜0，函數(shù)在x=0處取得最大值0；
m≥

3

2

時(shí)，f（m）≥0，函數(shù)在x=m處取得最大值m3-

3

2

m2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是明確函數(shù)的最值在極值處或端點(diǎn)處取得，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．