Question

（2012•深圳一模）已知等比數(shù)列{a_n}的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式(

x

-

1

3x

)6展開式的常數(shù)項(xiàng)，則a₃a₇=

25

9

．

Answer 1

分析：在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，即得a₅的值．再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得a₃a₇ 的值．

解答：解：二項(xiàng)式(

x

-

1

3x

)6展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 6

•x

6-r

2

•(-

1

3

)r•x^-r=(-

1

3

)r•

C

r 6

•x

6-3r

2

．
令6-3r=0，r=2，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為 T₃=(-

1

3

)2•

C

2 6

=

5

3

．
由題意可得 等比數(shù)列{a_n}的第5項(xiàng) a₅=

5

3

，
∴a₃a₇=a52=

25

9

，
故答案為

25

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)．等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題