(2012•深圳一模)已知數(shù)列{an}滿足:a1=
1
2
,an+1=
an
enan+e
,n∈N*
(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)設(shè)Sn=a1+a2+…+an,Tn=a1•a2•a3•…•an,求證:Sn
n
n+1
,Tne-n2
分析:(1)由已知an+1=
an
enan+e
,可考慮兩邊取倒數(shù),可構(gòu)造
1
enan+1
=
1
en-1an
+1
,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)可先求
1
en-1an
,進(jìn)而可求an
(2)(方法一)構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-1-x,x∈[1,+∞),對(duì)其求導(dǎo),結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,進(jìn)而可求函數(shù)f(x)的范圍,即可證明,當(dāng)n∈N*時(shí),en-1≥n,然后利用放縮法對(duì)an的通項(xiàng)進(jìn)行編寫后利用裂項(xiàng)法可證明
(方法二),結(jié)合已知命題,也可以考慮利用數(shù)學(xué)歸納法證明
解答:解:(1)∵an+1=
an
enan+e
,
1
an+1
=
e
an
+en
,
1
enan+1
=
1
en-1an
+1
.         …(3分)
bn=
1
en-1an
,則bn+1=bn+1,b1=
1
a1
=2

因此,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列.
bn=2+(n-1)•1=n+1,…(5分)
an=
1
bnen-1
=
1
(n+1)en-1
.                     …(6分)
(2)(方法一)先證明當(dāng)n∈N*時(shí),en-1≥n.
設(shè)f(x)=ex-1-x,x∈[1,+∞),則f'(x)=ex-1-1,
∵當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0
f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),則當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥f(1)=0,即ex-1≥x.…(8分)
因此,當(dāng)n∈N*時(shí),en-1≥n,an=
1
(n+1)en-1
1
(n+1)n
=
1
n
-
1
n+1
,…(9分)
當(dāng)n∈N*時(shí),n+1<enan=
1
(n+1)en-1
1
enen-1
=e-(2n-1)
. …(10分)
Sn=a1+a2+…+an≤(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)=1-
1
n+1
=
n
n+1

…(12分)
Tn=a1a2a3•…•ane-1e-3e-5•…•e-(2n+1)=e-[1+3+5+…+(2n-1)]=e-n2
…(14分)
(方法二)數(shù)學(xué)歸納法證明
(1)∵S1=a1=
1
2
,
n
n+1
=
1
2

∴當(dāng)n=1時(shí),Sn
n
n+1
成立;
T1=a1=
1
2
,e-n2=
1
e
,
又∵e>2,∴
1
2
1
e
,
∴當(dāng)n=1時(shí),Tne-n2成立.           …(8分)
(2)設(shè)n=k時(shí)命題成立,即Sk
k
k+1
,Tke-k2
當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1=Sk+ak+1
k
k+1
+
1
(k+2)ek
,
要證Sk+1
k+1
k+2
,即證
k
k+1
+
1
(k+2)ek
k+1
k+2

化簡,即證ek≥k+1.                                 …(9分)
設(shè)f(x)=ex-x-1,x∈(0,+∞),則f'(x)=ex-1,
∵當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),則當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥f(0)=0,即ex≥x+1.
因此,不等式ek≥k+1成立,即當(dāng)n=k+1時(shí)Sn
n
n+1
成立. …(11分)
當(dāng)n=k+1時(shí),Tk+1=Tkak+1e-k2
1
(k+2)ek
=
e-k2-k
k+2

要證Tk+1e-(k+1)2,即證
e-k2-k
k+2
e-(k+1)2

化簡,即證ek+1>k+2.
根據(jù)前面的證明,不等式ek+1>k+2成立,則n=k+1時(shí)Tne-n2成立.
由數(shù)學(xué)歸納法可知,當(dāng)n∈N*時(shí),不等式Sn
n
n+1
Tne-n2成立.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和方法的應(yīng)用,解題中還要注意函數(shù)知識(shí)在求解問題中的重要性,試題具有很強(qiáng)的綜合性
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)隨機(jī)調(diào)查某社區(qū)80個(gè)人,以研究這一社區(qū)居民在20:00-22:00時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系,得到下面的數(shù)據(jù)表:
休閑方式
性別
看電視 看書 合計(jì)
10 50 60
10 10 20
合計(jì) 20 60 80
(1)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率,隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性,設(shè)調(diào)查的3人在這一時(shí)間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和期望;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有99%的把握認(rèn)為“在20:00-22:00時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系”?
參考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥K0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
K0 2.072 2.706 3.841 5.042 6.635

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知點(diǎn)P(x,y)在不等式組
x-2≤0
y-1≤0
x+2y-2≥0
表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng),則z=x-y的最小值是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知等比數(shù)列{an}的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式(
x
-
1
3x
)6
展開式的常數(shù)項(xiàng),則a3a7=
25
9
25
9

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥BD,AB=2,BD=
2
,沿BD將△BCD折起,使二面角A-BD-C是大小為銳角α的二面角,設(shè)C在平面ABD上的射影為O.

(1)當(dāng)α為何值時(shí),三棱錐C-OAD的體積最大?最大值為多少?
(2)當(dāng)AD⊥BC時(shí),求α的大。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案