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精英家教網如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是邊長為2的正方形,上底A1B1C1D1是邊長為1的正方形,側棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(1)求證:B1B∥平面D1AC;
(2)求證:平面D1AC⊥平面B1BDD1
分析:(1)設AC∩BD=E,連接D1E,根據平面ABCD∥平面A1B1C1D1的性質得B1D1∥BE,而B1D1=BE=
2
,則四邊形B1D1EB是平行四邊形,從而B1B∥D1E,又因B1B?平面D1AC,D1E?平面D1AC,根據線面平行的判定定理可知B1B∥平面D1AC;
(2)根據側棱DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,得AC⊥DD1.而下底ABCD是正方形則AC⊥BD,根據DD1與DB是平面B1BDD1內的兩條相交直線,則AC⊥平面B1BDD1,AC?平面D1AC,根據面面垂直的判定定理可知平面D1AC⊥平面B1BDD1
解答:證明:(1)設AC∩BD=E,連接D1E,
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1
∴B1D1∥BE,∵B1D1=BE=
2
,
∴四邊形B1D1EB是平行四邊形,
所以B1B∥D1E.
又因為B1B?平面D1AC,D1E?平面D1AC,
所以B1B∥平面D1AC
(2)證明:側棱DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴AC⊥DD1
∵下底ABCD是正方形,AC⊥BD.
∵DD1與DB是平面B1BDD1內的兩條相交直線,
∴AC⊥平面B1BDD1
∵AC?平面D1AC,∴平面D1AC⊥平面B1BDD1
點評:本題主要考查了直線與平面平行、直線與平面垂直的判定定理,同時考查了空間想象能力以及推理能力,涉及到的知識點比較多,知識性技巧性都很強.
練習冊系列答案
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